Finite Elemente
Höfundur:
Dietrich Braess (Útgáfa: 5)
Kaup valmöguleikar
Bei der numerischen Behandlung partieller Differentialgleichungen treten oft überraschende Phänomene auf. Neben der zügigen Behandlung der klassischen Theorie, die bis an die aktuelle Forschung heranführt, wird deshalb viel Wert auf die Darstellung von Beispielen und Gegenbeispielen gelegt. Die Beispiele haben mit dazu beigetragen, dass das Buch jetzt zu den Standardwerken bei den Finiten Elementen zählt.
Mit der fünften Auflage erfolgte eine weitere Abrundung bei den Themen, deren Bedeutung in den letzten Jahren gewachsen ist. Mit der Theorie der a posteriori Fehlerschätzer wird a priori Information über den Diskretisierungsfehler gewonnen, die in der klassischen Theorie noch nicht hergeleitet wurden und die – schärfer als sonst –eine Eigenart von a posteriori Schätzern beleuchtet. Die Behandlung von Platten in der Festkörpermechanik erhält jetzt mit dem Zwei-Energien-Prinzip eine solide Grundlage, nachdem in der letzten Auflage die Behandlung von Locking Effekten in einevollständige Theorie mündete.
Nánar um bókina
- Springer Nature
- 9783642347979
- 9783642347962
- Page Fidelity (PDF)
- 5
- Dietrich Braess
- German
- 2013-01-11
- 100
- 2
- 2
Kaflar
- Vorwort
- Vorwort zur ersten Auflage
- Inhaltsverzeichnis
- Bezeichnungen
- Kapitel I Einführung
- § 1. Beispiele und Typeneinteilung
- Beispiele
- Typeneinteilung
- Sachgemäß gestellte Probleme
- Aufgaben
- § 2. Maximumprinzip
- Beispiele
- Folgerungen
- Aufgaben
- § 3. Differenzenverfahren
- Diskretisierung
- Diskretes Maximumprinzip
- § 4. Eine Konvergenztheorie für Differenzenverfahren
- Konsistenz
- Lokaler und globaler Fehler
- Grenzen der Konvergenztheorie
- Aufgaben
- Kapitel II Konforme Finite Elemente
- § 1. Sobolev-Räume
- Einführung der Sobolev-Räume
- Die Friedrichssche Ungleichung
- Singularitäten von H1-Funktionen
- Kompakte Einbettungen
- Aufgaben
- § 2. Variationsformulierung elliptischer Randwertaufgaben 2. Ordnung
- Variationsformulierung
- Reduktion auf homogene Randbedingungen
- Existenz von Lösungen
- Inhomogene Randbedingungen
- Aufgaben
- § 3. Die Neumannsche Randwertaufgabe. Ein Spursatz
- Elliptizität in H1
- Randwertaufgaben mit natürlichen Randbedingungen
- Neumannsche Randbedingungen
- Gemischte Randbedingungen
- Beweis des Spursatzes
- Praktische Konsequenzen aus dem Spursatz
- Aufgaben
- § 4. Ritz–Galerkin–Verfahren und einfache Finite Elemente
- Modellproblem
- Aufgaben
- § 5. Einige gebräuchliche Finite Elemente
- Forderungen an die Triangulierung
- Bedeutung der Differenzierbarkeitseigenschaften
- Dreieckelemente mit vollständigen Polynomen
- Bemerkung zu C1-Elementen
- Bilineare Elemente
- Quadratische Viereckelemente
- Affine Familien
- Zur Auswahl von Elementen
- Aufgaben
- § 6. Approximationssätze
- Der Fragenkreis um das Bramble–Hilbert–Lemma
- Dreieckelemente mit vollständigen Polynomen
- Bilineare Viereckelemente
- Inverse Abschätzungen
- Cléments Operator
- Anhang: Zur Optimalität der Abschätzungen
- Aufgaben
- § 7. Fehlerabschätzungen für elliptische Probleme zweiter Ordnung
- Bemerkungen zu Regularitätssätzen
- Fehlerabschätzungen in der Energienorm
- L2-Abschätzungen
- Eine einfache L∞-Abschätzung
- Der L2-Projektor
- Aufgaben
- § 8. Rechentechnische Betrachtungen
- Das Aufstellen der Steifigkeitsmatrix
- Innere Kondensation
- Aufwand für das Aufstellen der Matrix
- Teilweise Netzverfeinerungen
- Zur Lösung des Neumann-Problems
- Aufgaben
- Kapitel III Nichtkonforme und andere Methoden
- § 1. Abstrakte Hilfssätze und eine einfache Randapproximation
- Die Lemmas von Strang
- Dualitätstechnik
- Das Crouzeix–Raviart–Element
- Eine einfache Approximation krummliniger Ränder
- Modifikationen beim Dualitätsargument
- Aufgaben
- § 2. Isoparametrische Elemente
- Isoparametrische Dreieckelemente
- Isoparametrische Viereckelemente
- Aufgaben
- § 3.Weitere funktionalanalytische Hilfsmittel
- Negative Normen
- Adjungierte Operatoren
- Ein abstrakter Existenzsatz
- Ein abstrakter Konvergenzsatz
- Beweis von Satz 3.4
- Aufgaben
- § 4. Sattelpunktprobleme
- Sattelpunkte und Minima
- Die inf-sup-Bedingung
- Gemischte Finite-Element-Methoden
- Fortin-Interpolation
- Sattelpunktprobleme mit Strafterm
- Typische Anwendungen
- Aufgaben
- § 5. Gemischte Methoden für die Poisson-Gleichung
- Die Poisson-Gleichung als gemischtes Problem
- Das Zwei-Energien-Prinzip
- Das Raviart–Thomas–Element
- Interpolation mit Raviart–Thomas–Elementen
- Implementierung und nachträgliche Verbesserung
- Gitterabhängige Normen für das Raviart–Thomas–Element
- Der Aufweichungs-Effekt gemischter Methoden
- Aufgaben
- § 6. Die Stokessche Gleichung
- Variationsformulierung
- Die inf-sup-Bedingung
- Fast inkompressible Strömungen
- Aufgaben
- § 7. Finite Elemente für das Stokes-Problem
- Ein instabiles Element
- Das Taylor–Hood–Element
- Das MINI-Element
- Das divergenzfreie nichtkonforme P1-Element
- Aufgaben
- § 8. A posteriori Abschätzungen
- Residuale Schätzer
- Untere Abschätzungen
- Bemerkungen zu anderen Schätzern
- Lokale Gitterverfeinerungen und Konvergenz
- § 9. A Posteriori Schätzer über das Zwei-Energien-Prinzip
- Kapitel IV Die Methode der konjugierten Gradienten
- § 1. Klassische Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme
- Stationäre lineare Prozesse
- Gesamt- und Einzelschrittverfahren
- Das Modellproblem
- Overrelaxation
- Aufgaben
- § 2. Gradientenverfahren
- Das allgemeine Gradientenverfahren
- Gradientenverfahren und quadratische Funktionen
- Konvergenzverhalten bei Matrizen mit großer Kondition
- Aufgaben
- § 3. Verfahren mit konjugierten Gradienten und konjugierten Residuen
- Der Algorithmus
- Analyse des cg-Verfahrens als optimales Verfahren
- Verfahren der konjugierten Residuen
- Indefinite und unsymmetrische Matrizen
- Aufgaben
- § 4. Vorkonditionierung
- Vorkonditionierung durch SSOR
- Vorkonditionierung durch ILU
- Bemerkungen zur Parallelisierung
- Nichtlineare Probleme
- Aufgaben
- § 5. Sattelpunktprobleme
- Der Uzawa-Algorithmus und seine Varianten
- Eine Alternative
- Aufgaben
- Kapitel V Mehrgitterverfahren
- § 1. Mehrgitterverfahren für Variationsaufgaben
- Glättungseigenschaften klassischer Iterationsverfahren
- Die Mehrgitter-Idee
- Der Algorithmus
- Der Übergang zwischen den Gittern
- Aufgaben
- § 2. Konvergenz von Mehrgitterverfahren
- Diskrete Normen
- Verknüpfung mit den Sobolev-Normen
- Approximationseigenschaft
- Konvergenzbeweis für das Zweigitterverfahren
- Andere Konzepte
- Aufgaben
- § 3. Konvergenz bei mehreren Ebenen
- Eine Rekursionsformel für den W-Zyklus
- Die Verschärfung für die Energienorm
- Der Konvergenzbeweis für den V-Zyklus
- Aufgaben
- § 4. Berechnung von Startwerten
- Bestimmung von Startwerten
- Komplexität
- Mehrgitterverfahren mit wenigen Ebenen
- Das cascadische Mehrgitterverfahren.
- Aufgaben
- § 5. Analyse von Mehrgitterverfahren über Zerlegungen der Finite-Element-Räume
- Das Schwarzsche alternierende Verfahren
- Algorithmen mit Teilraumzerlegungen aus algebraischer Sicht
- Hypothesen
- Direkte Folgerungen
- Konvergenz der multiplikativen Methode
- Lokale Gitterverfeinerungen
- Aufgaben
- § 6. Nichtlineare Probleme
- Mehrgitter-Newton-Verfahren
- Das nichtlineare Mehrgitterverfahren
- Startwerte
- Aufgaben
- Kapitel VI Finite Elemente in der Mechanik elastischer Körper
- § 1. Einführung in die Elastizitätstheorie
- Kinematik
- Gleichgewichtsbedingungen
- Die Piola-Transformation
- Materialgesetze
- Lineare Materialgesetze
- § 2. Hyperelastische Materialien
- § 3. Lineare Elastizitätstheorie
- Das Variationsproblem
- Die reine Verschiebungsmethode
- Die gemischte Methode nach Hellinger und Reissner
- Die gemischte Methode nach Hu–Washizu
- Aufgaben
- § 4. Locking
- Probleme mit kleinem Parameter
- Locking beim Timoschenko-Balken
- Fast inkompressibles Material
- Aufgaben
- § 5. Scheiben
- Ebener Spannungszustand
- Ebener Verzerrungszustand
- Scheibenelemente
- Das PEERS-Element
- Aufgaben
- § 6. Balken und Platten: Dimensionsreduktion
- Die Hypothesen
- Modifikation der Hypothese H2 zu ihrer Rechtfertigung
- Reduktion des (1, 1, 2)-Modells
- Anwendung des Zwei-Energien-Prinzips auf Platten
- Bemerkungen zu Balken
- § 7. Finite Elemente für die Kirchhoff-Platte
- Gemischte Methoden für die Kirchhoff-Platte
- DKT-Elemente
- Aufgaben
- § 8. Die Reissner–Mindlin–Platte
- Die Helmholtz-Zerlegung
- Der gemischte Ansatz mit Helmholtz-Zerlegung
- MITC-Elemente
- Der Ansatz ohne Helmholtz-Zerlegung
- Aufgaben
- Literatur