Brownian Motion

Þessi langþráða kennslubók fjallar um allt sem framhaldsnemi í líkindafræði þarf að vita um Brown-hreyfingu, auk nýjustu rannsókna á sviðinu. Fyrst er farið yfir smíði Brown-hreyfingar og síðan eiginleika úrtaksferla, svo sem samfelldni og hvergi deildanleika. Hugtök um brotavídd eru kynnt snemma og notuð bókina á enda til að lýsa nákvæmum eiginleikum Brown-ferla.

Tengsl Brown-hreyfingar og slembigöngu eru könnuð frá ýmsum sjónarhornum, meðal annars með þróun kenningarinnar um staðartíma Brown-hreyfingar út frá ívörpun slembigöngu. Slembiheildun er kynnt sem verkfæri og aðgengileg umfjöllun um mættisfræði Brown-hreyfingar greiðir fyrir ítarlegri umfjöllun um skurðpunkta Brown-ferla. Rannsókn á sérstökum punktum Brown-ferla og viðauki um SLE-ferli eftir Oded Schramm og Wendelin Werner tengjast beint nýlegum rannsóknarefnum.

This eagerly awaited textbook covers everything the graduate student in probability wants to know about Brownian motion, as well as the latest research in the area. Starting with the construction of Brownian motion, the book then proceeds to sample path properties like continuity and nowhere differentiability. Notions of fractal dimension are introduced early and are used throughout the book to describe fine properties of Brownian paths.

The relation of Brownian motion and random walk is explored from several viewpoints, including a development of the theory of Brownian local times from random walk embeddings. Stochastic integration is introduced as a tool and an accessible treatment of the potential theory of Brownian motion clears the path for an extensive treatment of intersections of Brownian paths. An investigation of exceptional points on the Brownian path and an appendix on SLE processes, by Oded Schramm and Wendelin Werner, lead directly to recent research themes.